普考申論題
115年
[經建行政] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
三顆六面骰子中，其中有一顆為作弊骰子，其他為公正骰子。已知作弊骰子得 1 或 2 點的機率各為 0.3，其他點數之機率各為 0.1。 (一)隨機選一骰子擲，得 2 點，求其為作弊骰子之機率。（10 分） (二)莊家和玩家對賭，各擲一次骰子，點數大者要付點數小者 100 元；平手不用付。玩家只能隨機在三顆中選一顆骰子擲，但莊家總是選作弊骰子。請問莊家獲利的期望值。（15 分）
三顆六面骰子中，其中有一顆為作弊骰子，其他為公正骰子。已知作弊骰子得 1 或 2 點的機率各為 0.3，其他點數之機率各為 0.1。 (一)隨機選一骰子擲，得 2 點，求其為作弊骰子之機率。（10 分） (二)莊家和玩家對賭，各擲一次骰子，點數大者要付點數小者 100 元；平手不用付。玩家只能隨機在三顆中選一顆骰子擲，但莊家總是選作弊骰子。請問莊家獲利的期望值。（15 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
隨機選一骰子擲，得 2 點，求其為作弊骰子之機率。（10 分）
思路引導 VIP
本題是標準的「貝氏定理」（Bayes' Theorem）應用題。首先定義隨機選取骰子的先驗機率（選到作弊骰子的機率為 1/3，選到公正骰子的機率為 2/3）。接著寫下在不同骰子下「擲得 2 點」的條件機率（作弊骰子為 0.3，公正骰子為 1/6）。最後利用貝氏定理公式求出已知「得 2 點」條件下，該骰子為作弊骰子的後驗機率。計算時注意分數與小數的轉換，保持精確度。
小題 (二)
莊家和玩家對賭，各擲一次骰子，點數大者要付點數小者 100 元；平手不用付。玩家只能隨機在三顆中選一顆骰子擲，但莊家總是選作弊骰子。請問莊家獲利的期望值。（15 分）
思路引導 VIP
這題需要非常小心中文語意的解讀！題目說「點數大者要付點數小者 100 元」，代表點數小的人是贏家（獲得 100 元），點數大的人是輸家（付出 100 元）。這是一個「點數越小越有利」的規則。莊家總是選「作弊骰子」，因為作弊骰子擲出小點（1 或 2）的機率極高（各 0.3，合計 0.6）。 解題步驟：