第 一 題

本題是標準的無理函數積分。看到 $\sqrt{1+y^2}$ 應立即聯想到三角代換 $y = \tan \theta$，並利用 $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ 消除根號。隨後會轉化為 $\int \sec^3 \theta d\theta$ 的常見積分，需要熟練運用分部積分法或查表公式，最後再將 $\theta$ 換回原變數 $y$。

這題考查旋轉曲面表面積的公式。由於是繞 x 軸旋轉，套用公式 $S = \int 2\pi y ds = 2\pi \int y \sqrt{1+(y')^2} dx$。將 $y=\sin x$ 代入後，會得到被積函數包含 $\sin x$ 與 $\cos x$。透過變數代換令 $u = \cos x$，會發現積分式剛好能化簡為(一)中所求的不定積分形式，代入上下限即可求得結果。