高考申論題
107年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 二 題
二、求∫∫₀¹⁰ˣ(x-1)√1+e²ydydx。(20分)
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到雙重積分且內層函數難以直接對 $y$ 積分時，首要策略為「交換積分次序」（Fubini 定理）或是對外層變數進行「分部積分法」。藉由繪製積分區域並轉換上下限，先對多項式 $(x-1)$ 進行積分，可將雙重積分大幅降階轉化為單變數定積分。
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【解題思路】觀察到內層函數 $\sqrt{1+e^{2y}}$ 無法直接對 $y$ 積分，故採用「交換積分次序」或「分部積分法」將原本的 $dy,dx$ 轉為 $dx,dy$，優先對 $(x-1)$ 進行積分以降階。 【詳解】 已知原雙重積分為 $\displaystyle I = \int_0^1 \int_0^x (x-1)\sqrt{1+e^{2y}} , dy , dx$。
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