高考申論題
105年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
求解下列微分方程式。（每小題 5 分，共 10 分）
求解下列微分方程式。（每小題 5 分，共 10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
e^{x+2y} (dy/dx) = 5x
思路引導 VIP
觀察方程式包含指數律相加的結構，首先應將其拆解為 e^x 與 e^{2y} 的乘積，即可輕易發現此為「可分離變數型」微分方程。解題核心在於變數分離後的雙邊積分，特別是右側需熟練利用「分部積分法（Integration by Parts）」來求出正確的積分式。
小題 (二)
dy/dx = (2x³ - y cos(2x)) / (0.5 sin(2x))
思路引導 VIP
觀察方程式的分式結構，將分母移項並展開後，可整理為一階線性微分方程式。透過尋找積分因子，或是直接觀察等式左側是否符合微分乘積法則（正弦與餘弦的連鎖律關係），將其化為全微分形式後積分即可求解。