第 一 題

本題測驗基礎定積分的操作。解題時應利用積分的線性性質將函數拆解，分別套用多項式冪次法則與指數函數積分公式求出反導數。同時須留意 $1/\sqrt{x}$ 在下限 $x=0$ 處為瑕積分，雖然計算上可直接代入極限值 0，但在推導過程中標示取極限的步驟能展現更嚴謹的數理邏輯。

看到三角函數的定積分，應立即想到使用基本積分公式或簡單的變數變換。利用 $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C$，直接套用公式並代入積分上下限即可求得精確數值。

看到三角函數相乘，且其中一項（sin(x)）恰好為另一項（cos(x)）的導數形式，應直覺想到「變數代換法（Substitution Rule）」。將帶有高次冪的 cos(x) 設為 u，並注意同步轉換積分上下限，即可將三角積分化簡為簡單的多項式積分。

看到此定積分題，首先應將常數 1/2 提出積分號外以簡化算式。接著利用基本積分公式 ∫(1/x)dx = ln|x| 求出反導數，最後利用微積分基本定理代入積分上下限求解即可。