高考申論題
114年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 二 題
求常微分方程式 y’’’(x)+ y’’(x)+ y’(x)+ y(x) = e^-x + 4x 的通解，以實數函數表示。（20 分）
📝 此題為申論題
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本題考查高階常係數非齊次線性微分方程的求解。解題應分為兩步：先求特徵方程式得齊次解（注意特徵根有實根與共軛複數根），再利用未定係數法求特解（注意非齊次項中包含與齊次解重複的項目，須乘上 x 修正）。
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【解題思路】本題為常係數非齊次線性常微分方程式，需先利用特徵方程式求出齊次解（$y_h$），再利用未定係數法求出對應非齊次項的特解（$y_p$），兩者相加即為通解。 【詳解】 已知方程式：$y'''(x) + y''(x) + y'(x) + y(x) = e^{-x} + 4x$
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常係數非齊次ODE
💡 利用特徵方程式求齊次解，結合未定係數法求特解之總和。
🔗 常係數非齊次 ODE 求解程序
- 1 求齊次解 yh — 令 f(x)=0，解特徵方程式得特徵根。
- 2 假設特解 yp — 依 f(x) 形式假設，遇齊次解重複項須修正。
- 3 待定係數運算 — 將 yp 代回原式，比較係數求出未知常數。
- 4 組合通解 — 最終通解 y = yh + yp 並標註常數為實數。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若 f(x) 為非簡單函數，則須改用參數變數法求解。
