高考申論題
108年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 四 題
求 y = y(x)滿足
\begin{cases} x^2 y'' + 3xy' + y = (\ln x)/x, \ y(1) = 0, \lim_{x \to $\infty} y(x) = 0. \end{cases}$
試問這樣的 y(x)是不是唯一的？（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
觀察方程式特徵，左式為典型的尤拉-柯西方程式（Euler-Cauchy Equation）。解題關鍵在於令 $x = e^t$ 將自變數轉換，使其變為常係數線性微分方程，求出通解後再代入邊界與極限條件；若代入條件後仍存有未定常數，即可證明該解不唯一。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
【解題思路】辨識本題為二階非齊次尤拉-柯西（Euler-Cauchy）微分方程，利用自變數變換 $x = e^t$ 轉為常係數微分方程求出通解，再代入給定的條件檢驗解的唯一性。 【詳解】 已知：方程式 $x^2 y'' + 3xy' + y = \frac{\ln x}{x}$，條件 $y(1)=0$ 且 $\lim_{x \to \infty} y(x) = 0$。
▼ 還有更多解析內容