高考申論題
108年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
一、請解下列的初始值問題(Please solve the following initial value problem)。(20分)
x²y" + xy' – y = 16x³, y(1) = −1, y'(1) = 1
x²y" + xy' – y = 16x³, y(1) = −1, y'(1) = 1
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
觀察方程式中各項的係數為 $x$ 的次方數，且其次方數與微分階數相對應，可立即判斷為尤拉-柯西方程式（Euler-Cauchy Equation）。解題策略分為三步：先令 $y=x^m$ 求出齊次方程式的通解；再利用未定係數法（或參數變異法）求非齊次項的特解；最後將通解代入初始條件解出未定常數。
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【解題思路】本題為典型的尤拉-柯西方程式（Euler-Cauchy Equation），解題步驟為先求對應之齊次方程式的通解，再求出非齊次方程式的特解，最後代入初始條件解出未定係數。 【詳解】 已知：方程式 $x^2y'' + xy' - y = 16x^3$ 及初始條件 $y(1) = -1, y'(1) = 1$。
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