高考申論題
107年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 四 題
四、使用拉普拉斯轉換(Laplace Transform)的方法解微分方程式。(15分)
y" + y' = e⁻ˣ sin x,
y(0) = 0,
y'(0) = 1.
📝 此題為申論題
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面對包含初始條件的常微分方程式，首選策略是運用拉普拉斯轉換將微分運算轉化為代數運算。解題關鍵在於正確應用 Laplace 微分性質及第一平移定理求出 Y(s)，接著透過嚴謹的部分分式展開，並將項次湊成可直接反轉換的標準式，最後求解出原函數 y(x)。
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【解題思路】利用拉普拉斯轉換將微分方程式轉換為 s 域的代數方程式，解出 Y(s) 後透過部分分式展開，最後進行反轉換求出原函數 y(x)。 【詳解】 已知：微分方程式 $y'' + y' = e^{-x} \sin x$，且初始條件為 $y(0) = 0, y'(0) = 1$。
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