高考申論題
108年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 二 題
二、請找出下列函數的傅利葉轉換(Please find the corresponding Fourier transform of the following function)。(20分)
f(x) = kx, if a < x < b and 0 otherwise.
f(x) = kx, if a < x < b and 0 otherwise.
📝 此題為申論題
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考生看到此題應先確認這是一個具有「有限區間（finite support）」的函數。核心解題策略為套用傅立葉轉換積分定義，並針對 $x \cdot e^{-i\omega x}$ 的形式使用「分部積分法（Integration by parts）」。此外，身為嚴謹的數學推導，務必注意分母可能為零的狀況，獨立討論 $\omega = 0$ 的特例才能確保過程無懈可擊並拿到滿分。
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【解題思路】利用傅立葉轉換的積分定義，將範圍縮限於 $[a, b]$，並對被積函數 $x e^{-i\omega x}$ 施以「分部積分法（Integration by parts）」進行求解。同時，須根據數學嚴謹性獨立探討 $\omega = 0$ 的特例。 【詳解】 已知：分段函數 $f(x) = \begin{cases} kx, & a < x < b \ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$
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