高考申論題
106年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 四 題
請解下列邊界值問題（Please solve the following boundary value problem）。（20 分）
∂u/∂t = c^2 (∂^2u/∂x^2)
u_x(0,t) = u_x(L,t) = 0, u(x,0) = f(x)
其中 c 是常數而 u_x = ∂u/∂x。
∂u/∂t = c^2 (∂^2u/∂x^2)
u_x(0,t) = u_x(L,t) = 0, u(x,0) = f(x)
其中 c 是常數而 u_x = ∂u/∂x。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題為經典的一維熱傳導方程式（兩端絕緣/絕熱邊界條件），標準解法為「分離變數法（Separation of Variables）」。看到 Neumann 邊界條件 (u_x=0)，應立即聯想到空間方向的特徵函數會是餘弦函數（Cosine），最後再利用初始條件展開傅立葉餘弦級數（Fourier Cosine Series）求解常數係數。
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【解題思路】使用分離變數法（Separation of Variables）將偏微分方程轉為常微分方程，解出 Sturm-Liouville 特徵值問題後，再利用傅立葉餘弦級數（Fourier Cosine Series）與初始條件求得係數。 【詳解】 已知：
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熱傳導方程分離變數法
💡 利用分離變數法解具齊次紐曼邊界條件之熱傳導方程
🔗 分離變數法解題因果鏈
- 1 變數分離 — 假設 $u=XT$ 導出 $X$ 與 $T$ 的常微分方程
- 2 空間特徵 — 由邊界條件求出特徵值與餘弦特徵函數
- 3 時間衰減 — 解出隨時間指數衰減的 $T(t)$ 函數
- 4 級數加總 — 利用疊加原理寫出通解並套用初始條件求係數
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🔄 延伸學習：延伸學習：當邊界條件變為 Dirichlet 條件時，特徵函數會轉變為正弦級數。
