高考申論題
106年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 四 題
請解下列邊界值問題（Please solve the following boundary value problem）。（20 分）
∂u/∂t = c^2 (∂^2u/∂x^2)
u_x(0,t) = u_x(L,t) = 0, u(x,0) = f(x)
其中 c 是常數而 u_x = ∂u/∂x。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題為經典的一維熱傳導方程式（兩端絕緣/絕熱邊界條件），標準解法為「分離變數法（Separation of Variables）」。看到 Neumann 邊界條件 (u_x=0)，應立即聯想到空間方向的特徵函數會是餘弦函數（Cosine），最後再利用初始條件展開傅立葉餘弦級數（Fourier Cosine Series）求解常數係數。
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【解題思路】使用分離變數法（Separation of Variables）將偏微分方程轉為常微分方程，解出 Sturm-Liouville 特徵值問題後，再利用傅立葉餘弦級數（Fourier Cosine Series）與初始條件求得係數。 【詳解】 已知：
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