高考申論題
108年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 二 題
利用分離變數法求解以下熱方程的初始及邊界值問題：
\begin{cases} u_t = u_{xx} - au, 0 < x < h, t > 0, \ u(0, t) = 0, u(h, t) = 1, t > 0, \ u(x, 0) = 0, 0 < x < h. \end{cases}
此時 a 為一個正數。（提示：設解u(x,t) = v(x,t) +φ(x)，利用φ 來處理非零邊界條件。不需要算出傅立葉級數的係數，只要寫出積分公式即可。）（25 分）
📝 此題為申論題
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遇到非齊次邊界條件的偏微分方程，應先利用函數疊加原理，將解拆分為「滿足非齊次邊界條件的穩態解 $\phi(x)$」與「滿足齊次邊界條件的暫態解 $v(x,t)$」。接著，針對 $v(x,t)$ 應用分離變數法求解史特姆-萊歐維爾邊界值問題，最後利用初始條件以傅立葉正弦級數的積分公式表示未知的係數。
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【解題思路】利用函數疊加原理，先求出滿足非齊次邊界條件的穩態解 $\phi(x)$，再利用分離變數法求解齊次邊界條件的暫態解 $v(x,t)$，最後將兩者相加得到完整解。 【詳解】 已知：熱傳導方程式 $u_t = u_{xx} - au$ 及其初始條件與非齊次邊界條件。
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