高考申論題
114年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 五 題
使用分離變數法求第一象限上偏微分方程 ∂^2u/∂r^2 + 1/r ∂u/∂r + 1/r^2 ∂^2u/∂θ^2 = 0 的通解 u(r, θ)，其中(r, θ)為極座標，邊界條件 u(r, 0) = u(r, π/2) = 0。（20 分）
提示：u(r, θ)在原點要有定義。
提示：u(r, θ)在原點要有定義。
📝 此題為申論題
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看到極座標下的拉普拉斯方程式，首先聯想到使用「分離變數法」將PDE化為兩個ODE。接著利用角向的邊界條件求出特徵值與特徵函數，最後配合「原點有定義（有界）」的條件，剃除徑向方程式中會發散的項，透過重疊原理組合出通解。
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【解題思路】利用分離變數法將極座標下的拉普拉斯方程式轉換為兩個常微分方程式，透過角向邊界條件求得特徵值與特徵函數，再利用原點有界條件篩選出合理的徑向解。 【詳解】 已知：方程式為 $\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0$，邊界條件為 $u(r, 0) = u(r, \pi/2) = 0$，且 $u(r, \theta)$ 在 $r=0$ 處有定義。
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極座標拉普拉斯方程
💡 利用分離變數法結合邊界條件求極座標 PDE 通解
🔗 分離變數法解題因果鏈
- 1 假設分離 — 假設 u(r,θ)=R(r)Θ(θ) 並帶入原式分離變數
- 2 求解角向 — 利用邊界條件 u=0 求出特徵值與特徵函數
- 3 求解徑向 — 解柯西-尤拉方程，利用原點有界性去除發散項
- 4 通解組合 — 將各項乘積後利用疊加原理寫出一般通解
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🔄 延伸學習：延伸學習：若邊界條件非齊次，則需進一步利用正交性求係數
