高考申論題
109年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 五 題
求下列偏微分方程的通解w。（20分）
( ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2 ) w(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) = 0
( ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2 ) w(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) = 0
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到函數變數為 sqrt(x^2+y^2+z^2)，應立刻聯想到球座標系中的徑向距離 r。此題本質上是求解三維拉普拉斯方程式的球對稱解，可透過微積分的連鎖律將偏微分方程轉化為一維常微分方程（降階法），再進行積分求解。
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【解題思路】觀察到函數 $w$ 僅與原點的徑向距離 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 有關，屬於三維空間中的球對稱拉普拉斯方程式，可透過連鎖律將偏微分方程轉換為一維常微分方程求解。 【詳解】 已知：令徑向距離 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，則函數可表示為 $w = w(r)$。原偏微分方程式可寫為 $\nabla^2 w(r) = 0$。
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球對稱拉氏方程求解
💡 運用鏈鎖律將具球對稱性之 PDE 簡化為 ODE 求解。
🔗 球對稱 PDE 求解標準程序
- 1 座標代換 — 令 r 為徑向距離，計算 r 對各座標的偏導項
- 2 鏈鎖微分 — 利用微分規則求出對各變數之二階偏導數
- 3 代入算子 — 將分量相加並利用對稱性化簡為一維 ODE
- 4 積分求解 — 對簡化後的 ODE 進行積分以求得函數通解
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🔄 延伸學習：延伸學習：不同維度下的拉普拉斯算子與對應物理場通解之差異
