高考申論題
111年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 五 題
五、求帕松（Poisson）偏微分方程 Δu(r, θ) = 1 / √(r² + c²) 的所有徑向（radial）解 u(r)，其中 c > 0 為常數，(r, θ) 為極坐標，Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² = ∂²/∂r² + (1/r)∂/∂r + (1/r²)∂²/∂θ²。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到「徑向解（radial solution）」的關鍵字，應直覺想到函數 u 僅為 r 的函數，與 θ 無關，進而將偏微分的拉普拉斯算子簡化為僅含 r 的常微分方程 (1/r)d/dr(r(du/dr))。接著將方程整理後，藉由連續兩次對 r 積分（需運用變數變換法與部分分式）即可求出通解。
極坐標帕松方程徑向解
💡 利用徑向對稱性將偏微分方程簡化為常微分方程，並透過兩次積分求解。
🔗 徑向對稱 PDE 求解五步驟
- 1 條件設定 — 令 $\partial u/\partial \theta = 0$
- 2 算子簡化 — 代入極坐標拉普拉斯簡化式
- 3 首層積分 — 求出含 $C_1$ 的一階導數式
- 4 二層積分 — 使用代換法積出原函數 $u(r)$
- 5 整理通解 — 納入 $C_1$ 與 $C_2$ 完成解答
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🔄 延伸學習：延伸學習：若題目給定邊界條件（如 $u(a)=0$），需進一步決定積分常數。
