高考申論題
111年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 二 題
二、求解微分方程式 y'(x) = y(x) / (e^{-2y(x)} - 2xy(x)) 的非零通解。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
觀察方程式結構，發現 y 的項次位置較為複雜，且 y' 呈現為一分式。此時應優先聯想到「反函數法」（交換自變數與應變數），將方程式取倒數改寫為 dx/dy，即可化簡為標準的一階線性微分方程式，後續利用積分因子法 (Integrating Factor) 即可順利求得通解。
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【解題思路】利用反函數法將原式轉換為以 $y$ 為自變數、$x$ 為應變數的一階線性微分方程式，再透過積分因子法求解。 【詳解】 已知微分方程式：
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