高考申論題
106年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
請先將下列二階常微分方程式轉換成一階聯立方程式系統，然後解出其通解（Please find a general solution of the given equation by first converting it to a system）。（20 分）
y'' + y' - 12y = 0
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到高階常微分方程式轉換為聯立系統的題型，首先應引入新變數（如 y₁=y, y₂=y'）將方程式降階，並表示成矩陣形式 Y' = AY。接著，利用線性代數求出係數矩陣 A 的特徵值（Eigenvalues）與特徵向量（Eigenvectors），即可建構出系統的通解並對應回原變數。
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【解題思路】利用變數代換將二階常微分方程式降階為一階聯立矩陣系統 $\mathbf{Y}' = A\mathbf{Y}$，再透過求解係數矩陣的特徵值與特徵向量求得通解。 【詳解】 已知：方程式為 $y'' + y' - 12y = 0$
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