第 一 題

【解題思路】本題為常係數線性一階常微分方程組，需將系統轉為矩陣形式 $\dot{\mathbf{X}} = A\mathbf{X}$，並透過求取特徵值與特徵向量來構建基礎解系；遇有代數重數大於幾何重數之特徵值時，則需引入廣義特徵向量。 【詳解】 已知方程組可寫為矩陣形式 $\dot{\mathbf{X}} = A\mathbf{X}$，其中

【解題思路】將聯立常微分方程寫為矩陣形式 $\dot{\mathbf{X}} = A\mathbf{X}$，透過求特徵值與特徵向量（及廣義特徵向量）判斷解的長期行為；若存在對應於零特徵值且幾何重數小於代數重數的狀況，將產生隨時間 $t$ 線性遞增的無界項。 【詳解】 已知線性系統可表示為 $\dot{\mathbf{X}} = A\mathbf{X}$，其中 $\mathbf{X}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \ z(t) \end{pmatrix}$，係數矩陣 $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \ 1 & 0 & 1 \ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$。