高考申論題
112年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
二、令 A = [ 1 2 ] [ 2 1 ] ， (一)求 P 使得 P⁻¹AP = D，其中 D 為一 diagonal matrix。（15分） (二)求初始值問題 x'(t) = Ax(t)，x(0) = [ 1 ] [ 1 ] 之解。（20分）
二、令 A = [ 1 2 ] [ 2 1 ] ， (一)求 P 使得 P⁻¹AP = D，其中 D 為一 diagonal matrix。（15分） (二)求初始值問題 x'(t) = Ax(t)，x(0) = [ 1 ] [ 1 ] 之解。（20分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求 P 使得 P⁻¹AP = D，其中 D 為一 diagonal matrix。（15分）
思路引導 VIP
看到矩陣對角化題目，應立即想到「特徵值與特徵向量」的標準解題流程。先透過特徵方程式求出 eigenvalues，再解齊次線性系統找出對應的 eigenvectors，最後將這些線性獨立的 eigenvectors 作為行向量構造矩陣 P，對應的 eigenvalues 即為 D 的對角元素。
小題 (二)
求初始值問題 x'(t) = Ax(t)，x(0) =
[ 1 ]
[ 1 ]
之解。（20分）
思路引導 VIP
解一階常係數線性微分方程組系統的核心，在於找出係數矩陣的特徵值與特徵向量以建構通解。隨後再將初始條件代入通解，解出未知常數即可得到特解；亦可利用對角化結果以矩陣指數法求解。