第 一 題

看到求解矩陣的特徵值，應立即聯想到特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$。對於二階方陣，只需寫出行列式並展開成一元二次方程式，再透過因式分解或公式解即可求得特徵值 $\lambda$。

看到矩陣特徵向量的題目，首先應利用特徵方程式 \det(A - $\lambda I) = 0$求出所有的特徵值 $\lambda$。接著將各個特徵值代入 (A - $\lambda I)\mathbf{v} = 0$求出對應的特徵向量空間，最後依據題目給定的形式將特徵向量的 y 分量縮放為 1，即可對照解出對應的 V_1 值。

矩陣對角化的核心在於找出矩陣的特徵值（eigenvalues）與對應的特徵向量（eigenvectors）。解題步驟依序為：解特徵方程式 $\det(A-\lambda I)=0$ 求特徵值、代回解齊次方程組求對應的特徵向量，最後以特徵向量建構可逆矩陣 $P$，並以特徵值建構對角矩陣 $D$，完成 $A = PDP^{-1}$ 的對角化表示。