高考申論題
106年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 二 題
找出下列 Sturm-Liouville 問題的特徵值與特徵函數（Please find eigenvalues and eigenfunctions of the following Sturm-Liouville problem）。（提示：令 x = e^t）（20 分）
(y'/x)' + (λ + 1)y/x^3 = 0, y(1) = 0, y(e^π) = 0
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到含變數倒數或微商的 Sturm-Liouville 問題，應先將方程式展開並整理成標準的柯西-尤拉（Cauchy-Euler）方程式。接著利用題目提示的變數變換 x=e^t 將其轉化為常係數微分方程，最後分三種情況（λ>0, λ=0, λ<0）探討邊界條件，求出非顯然解對應的特徵值與特徵函數。
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【解題思路】利用提示 $x=e^t$ 將變係數的柯西-尤拉（Cauchy-Euler）方程式轉換為常係數線性常微分方程，再配合邊界條件分情況討論求解。 【詳解】 已知：
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