高考申論題
109年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 二 題
求下列微分方程系統的解。（20分）
u'(t) = 2u(t) - v(t) + e^t
v'(t) = 3u(t) - 2v(t) - e^t
u(0) = 1, v(0) = 2
📝 此題為申論題
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面對線性常係數微分方程組，解題策略主要有消去法、拉普拉斯轉換及矩陣特徵值法。本題因給定明確初始條件，直接使用「消去法」降階為單一變數的二階非齊次微分方程，或用「拉普拉斯轉換」皆能快速求解。需特別注意在使用未定係數法找特解時，非齊次項 $e^t$ 會與齊次解重疊，假設特解時必須補乘上 $t$ 來修正。
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【解題思路】本題為常係數線性微分方程系統，可利用「消去法」將方程組化為單變數之二階非齊次常微分方程，求出通解後再代入初始條件定出常數。 【詳解】 已知微分方程系統與初值條件：
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