高考申論題
105年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
一、設 A 為 n×n 矩陣，證明 A 可對角線化的充要條件是 A 擁有 n 個線性獨立的特徵向量。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到「充要條件」證明，務必分為「必要性 (⇒)」與「充分性 (⇐)」兩部分嚴謹論述。核心關鍵在於構造可逆矩陣 P，將其行向量視為特徵向量，並利用分塊矩陣乘法 AP = PD 的關係來推導對角矩陣 D 的生成與行向量線性獨立的等價性。
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【解題思路】利用對角線化的定義 $P^{-1}AP=D$，透過構造行向量矩陣 $P = [v_1, v_2, \dots, v_n]$，分別論述必要性與充分性。 【詳解】 已知：設 $A$ 為一 $n \times n$ 矩陣。依定義，若存在一可逆矩陣 $P$ 及一對角矩陣 $D$，使得 $P^{-1}AP = D$（亦即 $AP = PD$），則稱 $A$ 可對角線化。
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