高考申論題
109年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
設a和b為實數，試求下列對稱矩陣為正定（positive definite）的充分必要條件，並證明其結果。（20分）
\begin{pmatrix} a & b & b & b \ b & a & b & b \ b & b & a & b \ b & b & b & a \end{pmatrix}
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到特殊形式的對稱矩陣，判斷正定性有兩種主流方法：求所有特徵值皆大於零，或利用二次型定義 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$。本題若直接利用二次型展開，並巧妙代入特定向量及利用柯西不等式（Cauchy-Schwarz inequality），能最嚴謹且漂亮地分別證明出條件的「必要性」與「充分性」。
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【解題思路】利用正定矩陣的二次型定義（Quadratic Form）$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$，透過代入特定非零向量證明必要條件，並利用柯西不等式證明充分條件。 【詳解】 已知：設給定之 $4 \times 4$ 實對稱矩陣為 $A$。對於任意非零向量 $\mathbf{x} = [x_1, x_2, x_3, x_4]^T \in \mathbb{R}^4$，其二次型（Quadratic form）可展開為：
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