高考申論題
106年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 三 題
請解出下列矩陣的行列式和反矩陣（Please find the determinant and the inverse of the following matrix）。（20 分）
A =
[ -1 1 2 ]
[ 3 -1 1 ]
[ -1 3 4 ]
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
面對求行列式與反矩陣的題型，第一步應先利用降階展開法（Laplace expansion）計算行列式，並確認其不為零以保證反矩陣存在。接著，計算所有元素的餘因子（cofactors）以構成伴隨矩陣，最後套用公式 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)$ 求出反矩陣，過程需小心正負號的交替變化。
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【解題思路】利用降階展開法計算行列式 $\det(A)$，並利用伴隨矩陣法公式 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)$ 求出反矩陣。 【詳解】 已知矩陣 $A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \ 3 & -1 & 1 \ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix}$
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