高考申論題
110年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
矩陣 A= [1 2] [2 1]。
矩陣 A= [1 2] [2 1]。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求 A 之特徵值（eigenvalues）及特徵向量（eigenvectors）。（10 分）
思路引導 VIP
看到求特徵值與特徵向量，第一步先列出特徵方程式 \det(A - $\lambda I) = 0$解出 $\lambda$。第二步將每個 $\lambda$代回齊次線性系統 (A - $\lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$中，找出對應的非零解向量 $\mathbf{v}$。計算過程需清楚列出行列式展開與高斯消去法的結果。
小題 (二)
將 A 對角線化（diagonalization）。（10 分）
思路引導 VIP
看到矩陣對角化，應首先求解特徵方程式以找出特徵值，接著代入各特徵值求對應的特徵向量。最後利用特徵向量建構可逆矩陣 P，特徵值建構對角矩陣 D，得出 A = PDP⁻¹ 的對角化形式。