高考申論題
105年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 二 題
📖 題組：
給定矩陣為：A = [1 2; 9 4] (第一列為 1, 2；第二列為 9, 4)
給定矩陣為：A = [1 2; 9 4] (第一列為 1, 2；第二列為 9, 4)
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
設其特徵向量（eigenvectors）為 (V₁, 1)ᵀ，求 V₁ 之值。（3 分）
思路引導 VIP
看到矩陣特徵向量的題目，首先應利用特徵方程式 \det(A - $\lambda I) = 0$求出所有的特徵值 $\lambda$。接著將各個特徵值代入 (A - $\lambda I)\mathbf{v} = 0$求出對應的特徵向量空間，最後依據題目給定的形式將特徵向量的 y 分量縮放為 1，即可對照解出對應的 V_1 值。
小題 (一)
求出其特徵值（eigenvalues）。（2 分）
思路引導 VIP
看到求解矩陣的特徵值，應立即聯想到特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$。對於二階方陣，只需寫出行列式並展開成一元二次方程式，再透過因式分解或公式解即可求得特徵值 $\lambda$。
小題 (三)
請將此矩陣對角化（diagonalization）。（10 分）
思路引導 VIP
矩陣對角化的核心在於找出矩陣的特徵值（eigenvalues）與對應的特徵向量（eigenvectors）。解題步驟依序為：解特徵方程式 $\det(A-\lambda I)=0$ 求特徵值、代回解齊次方程組求對應的特徵向量，最後以特徵向量建構可逆矩陣 $P$，並以特徵值建構對角矩陣 $D$，完成 $A = PDP^{-1}$ 的對角化表示。
矩陣特徵值與向量
💡 透過特徵方程式求解特徵值，並利用定義求解對應之特徵向量。
🔗 特徵向量求解標準流程
- 1 特徵方程式 — 計算 det(A - λI) = 0
- 2 求解特徵值 — 解出特徵多項式的根 λ1, λ2...
- 3 代入定義式 — 對每個 λ 解 (A - λI)x = 0
- 4 比對分量 — 依題意將向量形式調整為 (V1, 1)T
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用特徵值之和等於跡 (Trace) 進行快速驗算。
