高考申論題
113年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
令 A=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}，回答以下兩小題：
令 A=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}，回答以下兩小題：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求 P 使得 P^{-1}AP = D，其中 D 為一對角矩陣（diagonal matrix）。（10 分）
思路引導 VIP
看到求可逆矩陣 P 使得 P^{-1}AP 為對角矩陣，即為標準的「矩陣對角化」問題。解題思路為：先解特徵方程式求出特徵值（Eigenvalues），接著分別求出對應的特徵向量（Eigenvectors），最後將特徵向量作為行向量組成矩陣 P 即可。
小題 (二)
求 \begin{pmatrix} x'(t) \ y'(t) \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix} 的一般解（general solutions），並證明此一般解 \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix} 滿足 \lim_{t \to $\infty} x(t) = \lim_{t \to \infty} y(t) = 0$。（15 分）
思路引導 VIP
面對一階常係數齊次線性微分方程組，首要步驟是求出係數矩陣 A 的特徵值與對應的特徵向量，以此建構系統的一般解。接著，利用求出之解（包含指數函數）的性質，透過極限運算證明當時間趨於無限大時，由於特徵值皆為負數產生指數衰減，變數將必然收斂至零。