高考申論題
114年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
將下列矩陣分解成上三角矩陣 L 和下三角矩陣 U 的乘積，其中 L 的對角線都是 1。（20 分）
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 2 & 1 & -1 \ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} = LU
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 2 & 1 & -1 \ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} = LU
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到 LU 分解，直接聯想到 Doolittle 演算法。題目要求 L 的對角線為 1，因此透過設定下三角矩陣 L 與上三角矩陣 U，利用矩陣乘法展開對應元素，依序解出 U 的第一列、L 的第一行、U 的第二列...即可得出答案。同時需敏銳察覺題目敘述中 L 與 U 的上下三角定義筆誤，並從容以慣例作答。
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【解題思路】利用 Doolittle 演算法進行 LU 分解，設定對角線為 1 的下三角矩陣 L 與上三角矩陣 U，再利用矩陣乘法逐項比較係數求解。 【詳解】 已知：
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矩陣 LU 分解法
💡 將方陣分解為下三角矩陣 L 與上三角矩陣 U 的乘積。
🔗 Doolittle 分解法求解步驟
- 1 結構設定 — 令 L 為單位下三角，U 為上三角矩陣
- 2 第一層求解 — 求出 U 的第一列與 L 的第一行元素
- 3 遞迴運算 — 依序交替算出 U 的第 k 列與 L 的第 k 行
- 4 結果驗證 — 檢查 LU 乘積是否等於原矩陣 A
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🔄 延伸學習：延伸學習：當矩陣為對稱正定時，可使用更簡便的 Cholesky 分解。
