高考申論題
107年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
三、解下列微分方程式:
三、解下列微分方程式:
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
y" – 2xy' + 2y = 0, y(0) = -1/3。(12分)
思路引導 VIP
本題為變係數線性二階常微分方程式（即 n=1 的 Hermite 微分方程式）。解題首選是觀察出顯而易見的多項式解 y=x，接著使用「降階法 (Reduction of Order)」求出第二獨立解與精確閉式通解（Closed-form solution）；若無法觀察出特解，亦可使用冪級數法 (Power Series) 求解。注意題目僅給定一個初始條件 y(0)=-1/3，因此最終解必將保留一個任意常數。
小題 (二)
3(1+x)y'−2yy'+3y=1−2x, y(0) =0。(8分)
思路引導 VIP
看到這題非線性常微分方程式，首先嘗試將 y' 寫成 dy/dx，並將方程式整理成 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 的標準微分形式。接著檢查是否滿足正合（Exact）條件（即 ∂M/∂y = ∂N/∂x），確認為正合後，即可透過偏積分求出位勢函數，最後代入初始條件求出特解。