高考申論題
113年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 五 題
利用函數 u(x, t) 對 x 的傅立葉轉換（Fourier transform） û(ω, t) = ∫_{-∞}^{∞} e^{-iωx} u(x, t) dx，證明 u(x, t) = $\frac{1}{\sqrt{4πt}}$∫_{-∞}^{∞} e^{-$\frac{(x-y)^2}{4t}} f(y) dy$是下述熱傳導方程的解：
\begin{cases} $\frac{∂}{∂t} v(x, t) = \frac{$∂^2}{∂x^2} v(x, t), -∞ < x < ∞ \ v(x, 0) = f(x), -∞ < x < ∞ \end{cases}
其中函數 f(x) 滿足 ∫_{-∞}^{∞} (f(x))^2 dx < ∞。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到定義在無窮空間的熱傳導方程式，首選方法是對空間變數 x 取傅立葉轉換，將偏微分方程 (PDE) 降階化為對時間 t 的一階常微分方程 (ODE)。解出頻域解後，再利用高斯函數的積分公式與「摺積定理 (Convolution Theorem)」，反轉換回時空域即可完成證明。
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【解題思路】利用傅立葉轉換將空間變數的偏微分方程化為常微分方程，解出後再利用反轉換與摺積定理求得時空域的解。 【詳解】 已知：
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