高考申論題
110年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
傅立葉級數（Fourier series）與應用：
傅立葉級數（Fourier series）與應用：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
若函數 f(t)可以被展開為傅立葉級數，則 f(t)需滿足什麼條件？（10 分）
思路引導 VIP
看到此題應立即聯想到傅立葉級數展開的經典充分條件——「狄利克雷條件（Dirichlet conditions）」。作答時需精準且條理分明地列出該條件的三個核心要素（絕對可積、有限個極值、有限個間斷點），若能進一步補充展開後的收斂值（連續點與間斷點的差異）並點明其為充分條件，定能展現嚴謹邏輯穩拿滿分。
小題 (二)
若有一組觀測資料 f(t)，總共有 2N 個觀測數據，時間總長度為 T，n 為特徵值，請寫出 f(t)之傅立葉級數。（10 分）
思路引導 VIP
看到「2N 個有限觀測數據」與「時間長度 T」，應立即聯想到這是在考查「離散/有限傅立葉級數」。解題關鍵在於先定義基本角頻率（2π/T），並根據取樣定理（自由度為2N），將傳統的無窮級數截斷為最高階數至 N 的三角多項式，同時列出對應的離散係數求法以展現嚴謹性。
小題 (三)
利用(二)之傅立葉級數，針對相同週期之特徵函數（特徵值為 n），其週期、振幅及相位各為何？（15 分）
思路引導 VIP
遇到求傅立葉級數特定項的週期、振幅與相位，應先寫出第 n 項特徵函數的標準展開式（包含 sin 與 cos 組合）。接著利用三角函數疊加原理（輔助角公式）將其合併為單一餘弦或正弦函數之諧波形式，即可直接讀出振幅與相位，並從角頻率推導出對應週期。