高考申論題
109年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
四、(一)寫出2L週期實函數 f(x)的傅立葉級數公式。（6分） (二)設φ(x) 為(一)中之傅立葉基底函數，∫_{-L}^{L} φ(x)^2 dx 為何？（6分） (三)使用(一)計算 ∫_{-L}^{L} f(x)^2 dx。（8分）
四、(一)寫出2L週期實函數 f(x)的傅立葉級數公式。（6分） (二)設φ(x) 為(一)中之傅立葉基底函數，∫_{-L}^{L} φ(x)^2 dx 為何？（6分） (三)使用(一)計算 ∫_{-L}^{L} f(x)^2 dx。（8分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
寫出2L週期實函數 f(x)的傅立葉級數公式。
思路引導 VIP
本題考查基礎的傅立葉級數定義。解題時除了寫出級數展開的三角函數和式（注意週期為 2L，故角頻率為 nπx/L）外，務必完整列出常數項、餘弦係數與正弦係數的積分公式，這樣才能取得完整分數。
小題 (二)
設φ(x) 為(一)中之傅立葉基底函數，∫_{-L}^{L} φ(x)^2 dx 為何？
思路引導 VIP
本題考查傅立葉級數的「正交基底」性質與積分運算。解題關鍵在於先明確寫出基底函數集合 ${1, \cos(\frac{n\pi x}{L}), \sin(\frac{n\pi x}{L})}$，再利用三角函數的半角公式分別計算各個基底函數平方在週期 $[-L, L]$ 內的定積分。
小題 (三)
使用(一)計算 ∫_{-L}^{L} f(x)^2 dx。
思路引導 VIP
這題要求推導著名的帕塞瓦爾恆等式 (Parseval's Identity)。解題關鍵在於將 $f(x)^2$ 寫成 $f(x)$ 乘以其傅立葉級數展開式（或者將展開式直接平方），接著利用積分的線性性質分配進去，再代入傅立葉係數的定義（或利用基底函數的正交性與題(二)的平方積分結果），即可輕鬆化簡出最終答案。