高考申論題
112年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
三、令 f(x) = x²，x ∈ [-π, π]， (一)求函數 f 之傳立葉級數（Fourier series）。（15分） (二)求初始值問題 u_t(x, t) = u_xx(x, t)，x ∈ (-π, π)，t > 0，u_x(-π, t) = u_x(π, t) = 0，u(x, 0) = x² 之解。（25分）
三、令 f(x) = x²，x ∈ [-π, π]， (一)求函數 f 之傳立葉級數（Fourier series）。（15分） (二)求初始值問題 u_t(x, t) = u_xx(x, t)，x ∈ (-π, π)，t > 0，u_x(-π, t) = u_x(π, t) = 0，u(x, 0) = x² 之解。（25分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求函數 f 之傳立葉級數（Fourier series）。（15分）
思路引導 VIP
看到週期區間為對稱的 $[-L, L]$（此處 $L=\pi$），首要之務是檢查函數的奇偶性。$f(x)=x^2$ 為偶函數，因此必無正弦項（即 $b_n=0$），只需利用分部積分法計算餘弦項係數 $a_0$ 與 $a_n$ 即可快速求得傅立葉級數。
小題 (二)
求初始值問題 u_t(x, t) = u_xx(x, t)，x ∈ (-π, π)，t > 0，u_x(-π, t) = u_x(π, t) = 0，u(x, 0) = x² 之解。（25分）
思路引導 VIP
面對此熱傳導方程式的初始邊界值問題，應首先想到使用「分離變數法 (Separation of Variables)」。由 Neumann 邊界條件求出空間域的 Sturm-Liouville 特徵函數系（包含整數倍的餘弦與半整數倍的正弦函數）；接著透過疊加原理與初始條件 $u(x,0)=x^2$，觀察其為偶函數以消去正弦項，並直接結合第一小題的傅立葉展開結果求得時間演化解。