高考申論題
105年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 五 題
五、求 f(x) = ∛(1+x) 對原點展開的泰勒級數一般項公式，其收斂區間為何？（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到函數形式為 f(x)=(1+x)^m 對原點展開，應直覺聯想到「廣義二項式級數（Maclaurin 級數）」。解題關鍵在於推導出組合數的遞迴規律以寫出一般項，接著利用比值審斂法（Ratio Test）求出收斂半徑，最後務必使用 Raabe 判別法（Raabe's Test）或交錯級數審斂法嚴謹檢驗端點的收斂性。
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【解題思路】利用廣義二項式定理將 f(x) 展開為馬克勞林級數（Maclaurin series），並透過比值審斂法及 Raabe 判別法嚴謹確定其收斂區間與端點收斂性。 【詳解】 已知函數 f(x) = (1+x)^{1/3}，欲求對原點展開的泰勒級數。
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