高考申論題
105年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
當正數α 與β 都極小時，請求出下列近似式。（10 分）
$\frac{1}{\cos\alpha}(1-\cos\beta) \cong \frac{\beta^2}{2} + \frac{\alpha^2\beta^2}{4}$
$\frac{1}{\cos\alpha}(1-\cos\beta) \cong \frac{\beta^2}{2} + \frac{\alpha^2\beta^2}{4}$
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到極小值的函數近似式，首先應聯想到泰勒級數（或麥克勞林級數）展開。將三角函數展開至二次項，並利用廣義二項式定理處理分母倒數，最後相乘並忽略高階微小量即可得證。
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【解題思路】利用麥克勞林級數將餘弦函數展開至二次項，並結合廣義二項式定理處理倒數近似，最後將兩項相乘即得結果。 【詳解】 已知：$\alpha, \beta$ 皆為極小的正數。當 $x$ 極小時，可利用麥克勞林級數（Maclaurin series）將 $\cos x$ 在 $x=0$ 附近展開：
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