高考申論題
114年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 三 題
設曲線 C 為兩曲面 x^2+ 2y^2+ 2z^2 = 20 與 x^2+ y^2+ z = 4 之交線，求 C 上一點(0,1,3) 之切線。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
兩曲面交線的切線方向，必同時垂直於該點上兩個曲面的法向量。因此，先分別求出兩曲面在該點的梯度（法向量），再將兩梯度作外積（Cross Product），即可得到切線的方向向量。
兩曲面交線切線
💡 以兩曲面梯度向量之外積作為交線之切線方向。
🔗 求交線切線之標準程序
- 1 求梯度向量 — 對曲面方程式 F, G 求偏導獲取梯度公式。
- 2 代入點求值 — 將已知點代入梯度以獲得具體法向量 n1, n2。
- 3 外積求切向 — 計算 n1 x n2，得到切線之方向向量 v。
- 4 建立方程式 — 利用點與方向向量組合出直線參數式。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若需找該點之法平面，則以切線向量 v 作為平面法向量。
