高考申論題
113年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
令函數 f(x, y, z) = 3xy - 2yz，單位向量 u = (1/√2, 1/2, 1/2)，向量場 V(x, y, z) = (2z, 3y, x - z)，分別求以下四個量：（每項各 5 分，共 20 分）
令函數 f(x, y, z) = 3xy - 2yz，單位向量 u = (1/√2, 1/2, 1/2)，向量場 V(x, y, z) = (2z, 3y, x - z)，分別求以下四個量：（每項各 5 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
grad f = ∇f(x, y, z)，方向導數 ∇u f(1, 0, 1)。
思路引導 VIP
看到此題，首先應計算純量函數 f(x, y, z) 對各個變數的偏微分，組合成梯度向量 ∇f。接著，將指定點 (1, 0, 1) 代入梯度向量中得到該點的梯度值，最後與題目給定的單位向量 u 進行內積計算，即可求得該點的方向導數。
小題 (二)
curl V，div(curl V)。
思路引導 VIP
本題測驗基礎向量分析運算。看到 curl V 應立即列出偏微分行列式求解；而對於 div(curl V)，可根據向量恆等式「任何向量場旋度的散度恆為零」快速判斷，再藉由實際計算進行雙重驗證。