高考申論題
107年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
五、
五、
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
已知三角形△DEF 的邊是 C,其邊上的方向性是逆時針方向。其頂點分別為 D(0,0), E(1,2)和 F(0,2)。使用格林定理(Green's Theorem)計算∮c4x²ydx+2ydy。(10分)
思路引導 VIP
看到求封閉曲線線積分的題目，且指定使用格林定理，第一步先找出 P(x,y) 和 Q(x,y)，並計算偏導數 ∂Q/∂x 與 ∂P/∂y。第二步，畫出三角形區域找出邊界方程式，決定適當的雙重積分上下限，最後確實執行積分運算即可得解。
小題 (二)
已知向量場 F = (1 + x)eˣ⁺ʸi + (xeˣ⁺ʸ-2z)j-2yk。求向量場 F 的電位能(Scalar potential)。(要先驗證其守恆性,否則不給分。)(15分)
思路引導 VIP
看到求向量場的純量位勢（Scalar potential）並要求先驗證，第一步必須計算向量場的旋度（Curl），證明其旋度為零向量（$\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$），結合定義域為單連通區域，確立其為守恆場。第二步，根據守恆場定義 $\nabla \phi = \mathbf{F}$，透過對 $x, y, z$ 的偏微分方程式逐一進行偏積分與代入比對，最終拼湊出完整的位勢函數。