高考申論題
111年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 三 題
三、設 F 及 G 為三維向量場，計算下列含梯度和旋度的數學式 ∇(F · G) - G × (∇ × F) - F × (∇ × G)，並化至最簡式。（20 分）
📝 此題為申論題
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這是一道標準的向量分析恆等式推導題。對於包含梯度與旋度的複合運算，最穩健的方法是「拆解分量法」。建議考生先展開單一分量（如 x 分量），利用微分連鎖律與「加項減項」技巧湊出方向導數的形式，最後再依據座標對稱性推廣至完整的向量式。
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【解題思路】利用直角坐標系展開單一分量（如 $x$ 分量），觀察各項展開後的相消情形，並透過加減項技巧湊出方向導數算子，最後利用座標對稱性推廣至整體向量。 【詳解】 已知：設三維向量場 $F = (F_1, F_2, F_3)$ 且 $G = (G_1, G_2, G_3)$，並令直角座標為 $(x, y, z)$。我們考查原式之 $x$ 分量。
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