高考申論題
105年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 三 題
📖 題組：
在二維 x-y 平面上給定向量場F(x, y) = x³i + y³j。
在二維 x-y 平面上給定向量場F(x, y) = x³i + y³j。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (三)
求出 D 的梯度場，即∇D，並繪出此梯度場大致的空間分布。（6 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應先從題組脈絡推斷 $D$ 代表向量場的散度（Divergence）。解題分為兩步：先算出純量函數 $D=\nabla \cdot \mathbf{F}$，再對齊取梯度 $\nabla D$。最後觀察所得向量場 $\nabla D = 6(x\mathbf{i} + y\mathbf{j})$ 的幾何意義，即可知其為一以原點為中心、向外輻射且大小與距離成正比的向量場。
小題 (一)
在二維 x-y 平面上的每個象限都至少挑選一個點，繪出F大致的空間分布。（5 分）
思路引導 VIP
面對向量場繪圖題，首先應觀察各分量的函數特徵（如立方函數會保留變數的正負號）。接著在四個象限選取簡單的整數座標點（如 ±1）代入計算出具體向量，並進一步分析向量長度（大小）隨距離原點變化的趨勢，藉此精準掌握向量場的方向與梯度變化以完成繪圖。
小題 (二)
求出此向量場的輻合輻散場 D，即 D = ∇·F，並繪出 D 大致的空間分布。（6 分）
思路引導 VIP
看到求向量場的輻合輻散場（散度），應立即聯想到散度算子 ∇·F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y 的定義。計算出純量場 D 後，觀察其函數型態 3(x²+y²)，可利用極座標轉換聯想至 3r²，得知其空間分布圖形為一開口向上的旋轉拋物面，或以等值線（同心圓）方式描述。
小題 (四)
說明該梯度場與 D = 常數所構成之等值線呈現何種關係。（3 分）
思路引導 VIP
看到「梯度場」與「等值線（D = 常數）」的關係，應立刻聯想到向量分析中的核心幾何性質：梯度向量恆垂直於通過該點的等值線。解題時可先簡略求出純量位勢函數，再利用多變數連鎖律求導，證明梯度向量與等值線切向量的內積為零，以展現嚴謹的數理邏輯。