高考申論題
112年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
一、(一)求函數 f(x, y) = x³ - 3y² + 6xy - x - 9y + 10 在點(1, -1)之最大方向導數（directional derivative）。（10分） (二)求函數 f(x, y) = x² + y² + 2x - 2y + 12 在 x² + y² ≤ 4 之範圍內之最大值及最小值。（15分）
一、(一)求函數 f(x, y) = x³ - 3y² + 6xy - x - 9y + 10 在點(1, -1)之最大方向導數（directional derivative）。（10分） (二)求函數 f(x, y) = x² + y² + 2x - 2y + 12 在 x² + y² ≤ 4 之範圍內之最大值及最小值。（15分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求函數 f(x, y) = x³ - 3y² + 6xy - x - 9y + 10 在點(1, -1)之最大方向導數（directional derivative）。（10分）
思路引導 VIP
看到求「最大方向導數」，應直覺聯想到梯度（Gradient）。函數在某一點的最大方向導數發生在梯度的方向上，且其數值即為梯度向量在該點的長度（Norm）。因此，解題重點在於正確求出偏導數，代入座標後計算出向量長度。
小題 (二)
求函數 f(x, y) = x² + y² + 2x - 2y + 12 在 x² + y² ≤ 4 之範圍內之最大值及最小值。（15分）
思路引導 VIP
這是一道標準的有界閉區域求多變數函數極值的問題。解題分為兩步：首先求一階偏導數找『內部』的臨界點，確認其是否落入給定範圍；接著使用『拉格朗日乘數法』或『極座標參數化』尋找『邊界』上的候選極值點，最後將所有候選點代入函數比較大小。