高考申論題
110年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 三 題
球面上兩點之間的距離：
若地球半徑 R=6400 公里，在地球面上有 A、B 兩點，其經緯度各為 A（30N, 120E），B（60N, 150E），求在地球面上 A、B 兩點之間的距離（請寫出近似之數值）。（15 分）
提示 1：球面上兩邊夾一角求第三邊公式：
cos(a) = cos(b)cos(c) + sin(b)sin(c)cos(A)
提示 2：三角函數可利用泰勒級數展開得到近似值
📝 此題為申論題
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本題測驗球面幾何與數值分析的基本應用。首先需將地理經緯度轉換為以北極點為基準的球面極座標系統（計算餘緯度與經度差），接著套用題目提示的球面餘弦定理求出兩點間圓心角的餘弦值。最後，為避免查表，依提示利用泰勒級數取前兩項展開式（$\cos(x) \approx 1 - x^2/2$）反求角距離的弧度，代入弧長公式 $D=R\theta$ 即可求得近似距離。
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【解題思路】利用球面三角學的餘弦定理求出兩點間的圓心角餘弦值，再藉由泰勒級數展開式求得角距離的弧度近似值，最後代入弧長公式求實際距離。 【詳解】 已知：地球半徑 $R = 6400 \text{ km}$。設地球北極點為 $N$。
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