高考申論題
114年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 四 題
使用重積分計算單位球的表面積。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題測驗考生對曲面面積公式與多變數積分技巧的掌握。看到此題，應立即聯想使用曲面面積的雙重積分公式，並透過對稱性（先求上半球面積再乘以二）及極座標轉換（處理圓形投影區域）來簡化計算過程。
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【解題思路】利用曲面面積的雙重積分公式 $A = \iint_D \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} , dx , dy$，並結合極座標轉換進行求解。 【詳解】 已知：
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重積分求曲面面積
💡 運用雙重積分公式，配合極座標轉換求解對稱封閉曲面面積。
🔗 重積分求面積標準步驟
- 1 函數定義 — 確立 $z = f(x, y)$ 並求出偏導數 $z_x$ 與 $z_y$
- 2 元素代換 — 將偏導數代入面積公式根號項並化簡 $dS$
- 3 座標轉換 — 切換為極座標 $r, \theta$，加入面積元素 $r$
- 4 積分求解 — 計算定積分並依對稱性加倍得出總面積
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🔄 延伸學習：延伸學習：當曲面無法輕易表示為 $z=f(x,y)$ 時，可考慮參數式曲面積分。
