高考申論題
105年
[氣象] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 一 題
📖 題組：
一個半徑為 R 且球心在原點的球面可利用兩個變數φ 和θ 來進行參數化表示，其中0 ≤ θ ≤ 2π，為方位角，由正東（+ x軸）開始往逆時針方向增加，0 ≤ φ ≤ π 為天頂角，朝正上方為 0 度，水平為 90 度，朝正下方為 180 度。此外：F = xi + yj - zk (此處 F, i, j, k 為向量)
一個半徑為 R 且球心在原點的球面可利用兩個變數φ 和θ 來進行參數化表示，其中0 ≤ θ ≤ 2π，為方位角，由正東（+ x軸）開始往逆時針方向增加，0 ≤ φ ≤ π 為天頂角，朝正上方為 0 度，水平為 90 度，朝正下方為 180 度。此外：F = xi + yj - zk (此處 F, i, j, k 為向量)
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
寫出 Cartesian coordinate 中的 x, y, z 與 φ, θ 的對應關係。（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗基本的球座標（Spherical coordinates）與笛卡爾直角座標的轉換。解題時應先利用天頂角 φ 找出 z 軸分量與 xy 平面的投影長度，再利用方位角 θ 將平面投影長度分解為 x 與 y 分量。
小題 (二)
求出此球面上法線向量N的表示式，以及在（0,R,0）這個點的法線向量。（10 分）
思路引導 VIP
解決這類向量分析題目的核心在於「曲面參數化」。首先將球面表示為位置向量的參數式，接著對兩個變數（天頂角與方位角）求偏微分得到切向量，最後利用外積求出法線向量，並代入特定點的參數即可得解。題目給定的向量場 F 為干擾資訊或後續子題所用，本小題不需理會。
小題 (三)
用此設定驗證 Gauss theorem。（10 分）
思路引導 VIP
本題的核心在於「驗證（Verify）」高斯散度定理，這意味著考生必須『分別』計算體積積分（散度）與封閉曲面積分（通量），並證明兩者結果相等。破題關鍵是熟悉球座標轉換（包含雅可比行列式與外向單位法向量的推導），並仔細處理三角函數的積分計算。
📜 參考法條
∫ sinⁿ(ax) dx = - (sinⁿ⁻¹(ax) cos(ax) / na) + ((n-1)/n) ∫ sinⁿ⁻²(ax) dx，其中 a 為一正整數