高考申論題
115年
[水利工程] 流體力學
第 二 題
📖 題組：
二、水在圓管中的流動若發展為完全的層流（fully developed laminar flow）系統，管壁剪應力為 90.85 N/m2，圓管直徑（D）為 0.3 m。可以使用 Poiseuille’s law 計算圓管內的水壓梯度（dp/dx=Δp/L），其中 x 為沿水流方向的座標；Δp 為管長 L 的壓力差。在下列情況下，可獲得的 Δp/L 為何？（每小題 10 分，共 20 分）
提示：水平流動 Poiseuille’s law：
Q = (π D^4 Δp) / (128 μ L)
其中 μ 為黏滯係數；Q 為管內體積流率。
二、水在圓管中的流動若發展為完全的層流（fully developed laminar flow）系統，管壁剪應力為 90.85 N/m2，圓管直徑（D）為 0.3 m。可以使用 Poiseuille’s law 計算圓管內的水壓梯度（dp/dx=Δp/L），其中 x 為沿水流方向的座標；Δp 為管長 L 的壓力差。在下列情況下，可獲得的 Δp/L 為何？（每小題 10 分，共 20 分）
提示：水平流動 Poiseuille’s law：
Q = (π D^4 Δp) / (128 μ L)
其中 μ 為黏滯係數；Q 為管內體積流率。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
垂直向上流動。
思路引導 VIP
當水流改為「垂直向上」時，除了要克服管壁的摩擦力（剪應力）之外，還必須額外克服流體本身的「重力（重量）」。因此，力平衡方程式需加入流體重量項。壓力差的作用力需等於剪應力與流體重力之和，推導出的壓力梯度會多出一項流體的比重（γ）。
小題 (一)
水平流動。
思路引導 VIP
看到水平圓管層流，應立刻聯想「力平衡」概念。雖然題目給了 Poiseuille’s law 的公式作為提示，但解題最直接的途徑是利用圓柱流體的受力平衡：推動力（壓力差 × 截面積）等於 阻力（管壁剪應力 × 側面積）。即 Δp × (πD²/4) = τw × (πDL)。由此可直接推導出 Δp/L 與管壁剪應力 τw 的關係式。
非水平管流之壓力梯度
💡 壓力梯度需同時克服管壁摩擦阻力與流體位能（重力）之變化。
| 比較維度 | 水平流動 | VS | 垂直向上流動 |
|---|---|---|---|
| 受力平衡項 | 壓力與剪應力 | — | 壓力、剪應力與重力 |
| 壓力梯度公式 | 4τw / D | — | (4τw / D) + γ |
| 能量轉換 | 僅克服摩擦耗能 | — | 克服摩擦並增加位能 |
💬垂直流動必須依流動方向加計或扣除流體比重量之影響。
