高考申論題
114年
[水利工程] 流體力學
第 二 題
參閱圖一之示意圖，該實心圓柱質量 2 kg，直徑 Di = 73.8 mm，長 L = 200 mm，套入一直徑 Do = 74 mm 之垂直圓管並往下滑動。圓柱與圓管間距(Do-Di)/2 = 0.1 mm，該間距內有一潤滑油膜，油之黏性係數 7×10⁻³ N·s/m²。試問圓柱下滑達到終端速度 V 為何？（20 分）
📝 此題為申論題
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看到圓柱在套管中等速（終端速度）下滑，應立刻聯想到『力平衡』：圓柱向下的重力與油膜產生向上的黏滯剪力大小相等、方向相反。解題關鍵在於利用牛頓黏性定律，因間隙極小可假設流速分佈為線性，據此求出剪應力並乘上圓柱側面積，再與重力建立等式即可求解。
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【解題關鍵】圓柱等速下滑時達到力平衡（向下的重力 = 向上的黏滯剪力），應用牛頓黏性定律（Newton's law of viscosity）求解。 【解答】 一、 基本假設與已知條件整理
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牛頓黏性與終端速度
💡 物體受力平衡（重力等於黏滯阻力）時，達成等速下滑之終端速度。
🔗 終端速度解題邏輯鏈
- 1 分析動力來源 — 計算圓柱體受到的向下重力 $W = mg$。
- 2 建立阻力模型 — 應用牛頓黏性定律，定義剪應力 $\tau = \mu(V/h)$。
- 3 計算作用總力 — 將剪應力乘以圓柱側面積 $A = \pi D L$ 得到黏滯阻力。
- 4 力平衡求解 — 設定 $W = F_s$，移項解出終端速度 $V$。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若間隙 $h$ 較大，則油膜流速不可視為線性，須採圓柱座標系推導。
