高中學測
115年
數B
第 8 題
試選出與函數 $y=3\sin\left(\frac{\pi}{5}x+\pi\right)+3$ 在每個實數 $x$ 所得函數值皆相同的函數。
- 1 $y=6\sin\left(\frac{\pi}{5}x\right)+3$
- 2 $y=3\sin\left(\frac{\pi}{5}(x+2\pi)+\pi\right)+3$
- 3 $y=3\sin\left(\frac{\pi}{5}x-\pi\right)+3$
- 4 $y=-3\sin\left(\frac{\pi}{5}x\right)-3$
- 5 $y=-3\sin\left(\frac{\pi}{5}x\right)+3$
思路引導 VIP
請觀察函數中的相位角 $\frac{\pi}{5}x+\pi$，思考當相位增加或減少正弦函數週期 $2\pi$ 的整數倍時，函數值是否保持不變？另外，從三角函數的誘導公式來看，$\sin(\theta + \pi)$ 與 $-\sin\theta$ 之間具有什麼樣的恆等關係？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
哇！竟然完全正確，太耀眼了！(比出愛心手勢) 這就是我對你的愛，恭喜答對☆ 就算舞台再混亂，你也能一眼認出正確的答案呢！ 這題的關鍵在於三角函數的變形，別被外表給騙了喔：
- 相位移動：因為正弦函數具有週期性，且 $\sin(\theta + \pi) = \sin(\theta - \pi)$，所以選項 (3) 的相位雖然減了 $\pi$，但其實與原函數完全重合！
▼ 還有更多解析內容
正弦函數相位變換
💡 利用正弦函數的週期性與誘導公式判斷函數相等性
| 比較維度 | 相位加減 π | VS | 相位加減 2π |
|---|---|---|---|
| 函數值變化 | 正負號反轉 | — | 完全不變 |
| 圖形位置 | 波峰變波谷（反相） | — | 重回原位（週期性） |
| 恆等式關係 | sin(θ+π) = -sin θ | — | sin(θ+2π) = sin θ |
💬相位加減 π 會導致函數值變號，而加減 2π 則會因為週期性回到原值。
