調查局三等申論題
115年
[電子科學組] 工程數學
第 五 題
五、X 為連續隨機變數，其分布機率密度函數為分布在 a < x < b 間的均勻機率密度函數，已知其期望值 E[X] = (a + b) / 2，求 E[X^2] = ？（20 分）
📝 此題為申論題
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這是一題機率論的題目。X 是一個在 (a, b) 區間均勻分布的連續隨機變數。均勻分布的機率密度函數 (PDF) f(x) 長什麼樣子？在 (a, b) 區間內，f(x) 的高度應該是 1 / (b - a)，區間外為 0。接著，題目要求 E[X^2]。連續隨機變數的期望值 E[g(X)] 定義公式為何？它是 g(x) 乘上 f(x) 從負無限大積分到正無限大。因此，E[X^2] 就是將 x^2 乘上 1 / (b - a) 從 a 積分到 b。計算這個多項式積分後，化簡結果即為答案。或者，可以利用變異數 Var(X) 的公式來推導 E[X^2] 嗎？Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2，你知道均勻分布的變異數公式嗎？
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【解題分析】 本題考查連續型均勻分配（Continuous Uniform Distribution）之機率密度函數及其期望值 $E[X^2]$ 的推導。可透過期望值的微積分定義直接計算，或利用變異數（Variance）公式進行推導。 【解題過程】
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