調查局三等申論題
115年
[電子科學組] 工程數學
第 四 題
四、求下列複變積分值 $\oint_C (\frac{ze^{\pi z}}{z^4 - 16} + ze^{\pi/z}) dz$，C 為 $9x^2 + y^2 = 9$ 逆時鐘方向的橢圓。（20 分）
📝 此題為申論題
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這是一題複變數積分。首先，觀察積分路徑 C 是一個怎樣的圖形？9x^2 + y^2 = 9 可改寫為 x^2/1 + y^2/9 = 1，這是一個中心在原點、長軸在 y 軸 ([-3, 3])、短軸在 x 軸 ([-1, 1]) 的橢圓。接著，觀察被積分函數，它由兩項相加組成，可以拆開處理。第一項的奇點在哪裡？解 z^4 - 16 = 0。哪些奇點落在橢圓 C 內部？落在內部的奇點，其留數 (Residue) 如何計算？第二項 ze^{$\pi/z}$的奇點在哪裡？這個奇點是哪一種奇點（本質奇點）？如何利用勞倫茲級數 (Laurent series) 展開來找出它在奇點的留數？最後，應用留數定理 (Residue Theorem) 將這些留數加總並乘以 2$\pi i$，就能得到最終積分值。
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【解題分析】 本題考查複變函數的環路積分，解題關鍵在於應用柯西留數定理（Cauchy's Residue Theorem）。首先需確認積分路徑 $C$ 的範圍，找出被積分函數的奇點（Singularities），判斷哪些奇點落在路徑 $C$ 內部，最後計算這些內部奇點的留數（Residue）並加總求積分。 【解題過程】
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